Auf seiner Reise von Berlin nach St. Petersburg machte Leonhard Euler Halt in Königsberg, um das Brückenproblem bei einer Tasse Tee mit dem Philosophen zu erörtern.

Es ist nämlich längst Zeit für Tee, der pünktlich serviert werden muss, denn in Preußen herrscht in der Teegesellschaft wie auch sonst überall – in der Schule, in der Armee, in der Moral, in der Philosophie – ein höchstes Prinzip: Ordnung geht vor!

[Der Diener serviert den Tee.]

Kant: Es ist überall nichts in der Welt, ja überhaupt auch außer derselben zu denken möglich, was ohne Einschränkung für gut könnte gehalten werden, als allein ein guter Tee!

Diener: Darf ich noch etwas für Hochzuverehrende Herren Professoren tun?

Kant: Für meinen Spaziergang poliere mir diese Geldstücke blank. [Legt einige Münzen auf den Tisch.]

Euler: Warum lassen Herr Professor denn Geldstücke polieren?

Kant: Hochgelehrtester Herr werden ohne Zweifel vernommen haben, dass ich die Gewohnheit pflege, täglich einen Spaziergang durch die Straßen von Königsberg zu unternehmen. Jeden Tag immer exakt zur gleichen Stunde. Dabei pflege ich, den Bettlern Almosen zu geben. Um diese Elenden nicht durch gebrauchte, abgegriffene Geldstücke zu beleidigen, habe ich polierte Münzen bei mir.

Euler: Herr Professor werden mir sicher beibringen, wie das mit Ihrem kategorischen Imperativ zu vereinbaren ist. Welches allgemeine universell gültige Gesetz könnte von der Maxime „Gib jedem, der dich darum bittet“ abgeleitet werden?

Kant: Im Nachsinnen über selbige Frage bin ich zu dem Schlusse gelangt, die Zeit meines täglichen Spaziergangs zu ändern, um nicht in Widersprüche zu geraten. Man schlug mir zwar vor, einen angeblichen Metzgerlehrling vorzuschieben, der mich überfallen habe. Ich verwarf den Vorschlag alsbald. Jeder Mensch hat nicht allein ein Recht, sondern sogar die strengste Pflicht zur Wahrhaftigkeit in Aussagen, die er nicht umgehen kann: sie mag nun ihm selbst oder anderen schaden. Es ist nämlich ein heiliges, unbedingt gebietendes, durch keine Konvenienzen einzuschränkendes Vernunftgebot, in allen Erklärungen wahrhaft zu sein.

Euler: Wenn Herr Professor nun die Zeit Ihres Spaziergangs ändern und der Diener keine Münzen mehr polieren muss, mag er Algebra lernen. Ich habe einem ehemaligen Schneidergesellen, der bei mir im Haushalt dient, meine Anleitung zur Algebra1Die Vollständige Anleitung zur Algebra erschien erstmals 1768 in St. Petersburg in russischer Übersetzung. Euler hat hier erstmals einen Beweis dafür geliefert, dass die Fermatsche Vermutung für dritte Potenzen richtig ist und den Fundamentalsatz der Algebra streng formuliert, den allerdings erst Gauß im Jahr 1799 in seiner Dissertation beweisen konnte. Eulers Gehilfe Nikolaus Fuß berichtet in seiner Éloge de Monsieur Leonard Euler (1783), dass Euler das betreffende Manuskript erst dann als druckreif betrachtete, wenn ein Schneidergeselle, den Euler als Bediensteten aus Berlin nach St. Petersburg mitbrachte, den Text vollständig verstanden hatte. Bis heute mehrfach als Reclam-Bändchen aufgelegt, wurde sie zu einem Bestseller. In den Zeitraum der Entstehung der Algebra fallen auch Eulers Integralrechung, seine Optik, die zweite Mondtheorie und die zweite Schiffstheorie. diktiert und ihn veranlasst, sich den Stoff anzueignen und die zugehörigen Übungen zu lösen. Dabei erlernte er die Algebra. Auch Herr Professor werden einigen Gewinn darin haben, sie zu lesen.

Kant: Wird es uns helfen, das Königsberger Problem von den sieben Brücken zu lösen?

Euler: Diese Art von Problem hängt wenig mit der Algebra oder Mathematik überhaupt zusammen, und ich verstehe nicht, warum Herr Professor davon ausgehen, dass ausgerechnet ein Mathematiker die Lösung produzieren sollte, und nicht irgendjemand anderes. Die Lösung nämlich beruht allein auf der Vernunft und ihre Entdeckung hängt nicht von einem mathematischen Prinzip ab. Deshalb weiß ich nicht, warum selbst Fragen, die einen so geringen Bezug zur Mathematik haben, von Mathematikern eher gelöst werden, als von anderen.

Kant: Bisher hat niemand die Möglichkeit zur Lösung der Frage gezeigt oder gezeigt, dass dies unmöglich ist. Manche vermuten, Leibnitzius habe sie der Positionsgeometrie2Analysis situs oder Geometria situs. Erstmals 1679 von Gottfried W. Leibniz in einem Brief an Christian Huygens erwähnt. zugewiesen. Aber ich weiß weder, welche Arten von Problemen der Hochgelehrte Mann auf diese Weise zu entwickeln erwartete, noch ist zufriedenstellend festgestellt worden, welche Methoden zu deren Lösung verwendet werden sollten.

Euler: Dieser Zweig beschäftigt sich mit der Bestimmung der Position und ihrer Eigenschaften. Es handelt sich nicht um Entfernungen oder um mit ihnen gemachte Berechnungen. Wie Herr Professor sehen werden, ist auch das Brückenproblem so konstruiert, dass es keine Messungen von Distanzen erfordert oder überhaupt Berechnungen irgendwelcher Art, sodass weder Geometrie, noch Algebra, noch Arithmetik helfen, es zu lösen.

Kant: Wir könnten es durch eine genaue Aufzählung aller möglichen Gänge lösen. Dann wüssten wir, ob einer derselben der Bedingung genügt oder keiner. Freilich würde man mit dieser Vorgehensweise auch vieles andere finden, wonach gar nicht gefragt war, während in anderen Fällen, wo noch viel mehr Brücken vorhanden sind, diese Lösung gar nicht mehr angewendet werden könnte.

Euler: Darum habe ich diese Methode fallen gelassen und eine andere gesucht, die nur erweist, ob ein solcher Spazierweg gefunden werden kann oder nicht. Nach einiger Überlegung fand ich eine einfache Regel, mit deren Hilfe für alle Beispiele dieser Art unmittelbar entschieden werden kann, mit jeder Anzahl von Brücken, in jedem Arrangement, ob ein solcher Weg möglich ist, oder nicht.

Für die Situation zu Königsberg habe ich folgende Zeichnung angefertigt (Fig 1). Im ersten Schritt führe ich eine einfache Wegbeschreibungsweise ein. Ich betrachte die einzelnen Gebiete, die durch den Fluß voneinander getrennt sind und bezeichne sie mit den Großbuchstaben A, B, C, D. Der Übergang vom Gebiet A in das Gebiet B über die Brücke a oder b wird mit der Buchstabenfolge AB bezeichnet.

Fig. 1

Führt der Weg über irgendeine Anzahl von Brücken, so wird er durch eine Folge von Großbuchstaben bezeichnet, die um eins größer ist, als die Anzahl der Brücken. Daraus ergibt sich, dass die Überquerung der sieben Königsberger Brücken mit acht Buchstaben zu bezeichnen ist. Unmittelbar aufeinander folgende Buchstaben stehen für Gebiete, die durch eine Brücke miteinander verbunden sind. Gebiete, die mit zwei Brücken verbunden sind, müssen zweimal hintereinander in der Buchstabenfolge vorkommen, womit wir für unsere Situation die zwei benachbarten Paare A/B, gefolgt von zwei benachbarten Paaren A/C, gefolgt von dem Paar A/D erhalten.

Kant: Die Frage ist also, ob aus den vier Buchstaben eine Folge von acht Buchstaben gebildet werden kann, die in ihrer Aufeinanderfolge geeignet angeordnet sind. Aber selbst das erscheint mir recht mühsam und unsicher. Ist denn eine solche Anordnung überhaupt möglich?

Euler: Ganz recht. Deshalb habe ich im nächsten Schritt nach einer Regel gesucht, mit der genau diese Frage für jeden beliebigen Fall leicht entschieden werden kann. Sie hängt damit zusammen, in welchem Verhältnis die Zahl der Brücken, die in ein Gebiet führen, mit der Häufigkeit des Buchstabens, welches dieses Gebiet in der Buchstabenfolge repräsentiert, steht.

Betrachten wir wiederum einen vereinfachten Fall wie er in Fig. 2 skizziert ist. Ein einziges Gebiet A kann über beliebig viele Brücken erreicht werden. Es ist leicht ersichtlich, dass die Häufigkeit von A sich aus der Anzahl der Brücken, die man überqueren muss, um nach A zu gelangen, ergibt. Wenn ihre Anzahl ungerade ist, so nehme man Eins dazu und halbiere das Ergebnis, um die Häufigkeit des Buchstabens A zu erhalten. Hierbei ist es unerheblich, aus wie vielen anderen Gebieten die Brücken nach A führen.

Fig. 2

Meine Methode ist so einfach, dass selbst ein Ungelehrter sie finden kann.

Kant: Wenn Ehrenwerter Herr mir also irgendwie zeigen können, dass es sich so verhält, wie Sie sagen, so tun Sie es.

Euler: Freilich. Herr Professor rufen mir also von den vielen Dienern hier, welche Sie begleiten, irgendeinen her, welchen Sie wollen, damit ich es an diesem zeige.

Kant: Sehr gern. Du da, komm her!

[Der Diener tritt näher.]

Euler: Wie viele Brücken zum Kneiphof führen weißt du?

Diener: Ja. Fünf sind es.

Euler: Wie oft muss also nach meiner Regel der dem Kneiphof zugeordnete Buchstabe A in der Abfolge vorkommen?

Diener: Drei mal.

Euler: Bist du in der Lage für die anderen Gebiete um den Kneiphof ihre Häufigkeiten anzugeben?

Diener: In die Vorstadt führen drei Brücken, woraus ich schließe, dass sein Buchstabe B zweimal vorkommen muss. Selbiges gilt für C und D.

Euler: Gut! Nun, versuche mir auch zu sagen, ob es möglich ist, dass in einer Reihe von acht Buchstaben der Buchstabe A dreimal und die Buchstaben B, C und D jeweils zweimal vorkommen?

Diener: Offenbar nein.

Euler: Sage mir nun, ist diese Regel genug, um das Königsberger Problem zu entscheiden?

Diener: Ich wenigstens denke so. Sie allein liefert die Antwort: So ein Rundweg lässt sich hier nicht einrichten.

Euler: Wie Herr Professor sehen, kann auch ein in der Mathematik Unkundiger das Königsberger Problem zweifelsfrei entscheiden.

Kant: Gleichwohl zweifele ich, dass das bisher gezeigte uns zu sehr allgemeinen Kenntnissen geführt hat. Die Situation in Königsberg stellt offenbar einen Sonderfall dar und es fehlt viel, dass wir das auf alle möglichen Konstellationen von Gebieten mit geraden und ungeraden Brückenzahlen anwenden können.

Euler: Das ist allerdings richtig gesagt. Bevor ich fortfahre, das Regelwerk für allgemeine Fälle zu ergänzen, mögen mir Herr Professor die Bemerkung erlauben, dass der Vorwurf, den die heutigen Philosophen uns Geometern machen, gewöhnlich anders herum ausfällt, dass wir uns nämlich bloß mit abstrakten Dingen beschäftigen, die nur in unseren Gedanken existieren und sonst nirgends. Ich hingegen zeige hier wie wir in der Lage sind, von einem Sonderfall auf das Allgemeine zu schließen.

Kant: Das liegt an der Meinung dieser Weltweisen, dass die Eigenschaften, die einem Allgemeinbegriff zukommen, sich mitnichten bei den wirklich existierenden Dingen vorfinden. Wenn man also bewiesen hat, dass die drei Winkel eines Dreiecks gleich sind, so glauben sie, dass diese Eigenschaft nur von dem abstrakten und nicht von dem wirklichen Dreieck gelte. Sie befürchten, dass ihre metaphysischen Grundsätze darunter leiden möchten.

Euler: Gleichwohl bedenken sie nicht die Folgen, die daraus entspringen, wenn wir den existierenden Gegenständen die Eigenschaften absprechen, die den Abstrakten zukommen. Freilich ist der allgemeine Begriff, der alle individuellen einschließt, nur durch Abstraktion entstanden. Das abstrakte Wesen Mensch oder der abstrahierte allgemeine Begriff eines Baums existieren gewiß nirgends. Alle existierenden Menschen sind individuelle Wesen und Bäume individuelle Dinge. Dennoch würde keine einzige Folgerung, kein einziger Schluß mehr gelten, wenn es nicht erlaubt wäre, von jenen auf diese zu schließen. Denn was tun wir in allen unseren Schlüssen anders, als die besonderen Begriffe für die allgemeinen zu setzen?

Kant: Das ist gewiß wahr. Es ist ja auch das Verdienst einer jeden Wissenschaft desto größer, zu je allgemeineren und abstrakteren Begriffen sie sich emporschwingt.

Euler: In meinen nächsten Ausführungen werde ich die Ehre haben, dem Herren Professor zu zeigen, dass die Beobachtungen der Zusammenhänge, die wir aus dem Exempel Königsberg gezogen haben, auf alle Fälle anwenden können.

Für jede beliebige Konstellation von Gebieten und Brücken, die sie verbinden, ist die Gesamtzahl der Brücken sowie die Zahl der Brücken je Gebiet gegeben. Aus den trivialen Beobachtungen, die wir anzustellen vermochten, lassen sich folgende allgemeine Regeln formulieren:

(1) Wir nehmen zunächst die Gesamtzahl der Brücken plus Eins und merken uns das Ergebnis. Denn damit ist Länge unserer Buchstabenfolge genau festgelegt.

(2) Betrachten wir zunächst einzelne Gebiete und die dorthin führenden Brücken.
Aus der Zahl der Brücken, die in ein Gebiet führen, bestimme ich die Häufigkeit des Buchstabens, mit dem dieses Gebiet bezeichnet wird. Falls diese Zahl gerade ist, halbiere ich sie, falls aber ungerade, addiere ich eine Eins und halbiere dann.

(3) Jetzt bilde ich die Summe aller in (2) bestimmten Häufigkeiten.

(4) Das genügt, um zu abschließenden Folgerungen zu gelangen:

Ist die Summe (3) größer als der gemerkte Wert (1), kann die Überquerung nicht durchgeführt werden. Denn dann würde mindestens eine der Brücken mehr als einmal überquert, was in unserer Aufgabenstellung nicht vorkommen darf, und wie wir an dem Fall zu Königsberg bereits verifiziert haben.

Aus der in (2) aufgestellten allgemeinen Regel ist es leicht ersichtlich, dass das genau dann der Fall ist, wenn es mehr als zwei Gebiete mit einer ungeraden Brückenzahl gibt. Denn wie viele es dann auch immer sein mögen, wird die Summe der im Folgeschritt (3) gebildeten Häufigkeiten immer größer sein, als der Wert in (1), der bei einem Rundweg nicht überschritten werden darf. Deswegen gilt für alle anderen Fälle:

Ist die Summe der Häufigkeiten in (3) kleiner oder gleich dem in (1) gemerkten Wert, ist ein Rundweg möglich. Hierbei gilt es diese beiden Fälle weiter zu unterscheiden:

Erstens: Ist die Summe (3) gleich der um Eins erhöhten Brückenzahl (1), gelingt der Rundweg nur, wenn er in einem Gebiet beginnt, in welches eine ungerade Anzahl von Brücken führen. Die Bedingung, dass es nicht mehr als zwei solcher Gebiete gibt, ist ja bereits erfüllt.

Zweitens: Ist die Summe (3) um Eins kleiner als die um Eins erhöhte Brückenzahl (1), müssen wir in einem Gebiet mit einer geraden Brückenzahl beginnen. Ergänzend zur Regel (2) notieren wir: Der Buchstabe, mit dem dieses Gebiet bezeichnet wird, muss schließlich mit der Häufigkeit in der Folge enthalten sein, die exakt der um Eins erhöhten Hälfte seiner Brückenzahl entspricht, da der Pfad hier beginnt und hier endet.

Das ist alles, was wir in jedem beliebigen Fall beachten müssen.

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Leonhard Eulers Schrift Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis erschien 1736 in den Kommentaren der Wissenschaftlichen Akademie St. Petersburg und gilt als die erste Arbeit zur Graphentheorie.

Folgende Karte zeigt die Situation in Königsberg heute. Im Jahr 1946 fiel Königsberg an die Sowjetunion und wurde in Kaliningrad umbenannt. Die einzige Brücke zum Kneiphof, die den 2. Weltkrieg überstanden hat, ist die Honigbrücke (russ.: Медовый мост). Ein Rundweg ist möglich, wenn man den Spaziergang in einem Gebiet mit einer ungeraden Brückenzahl beginnt, wie Euler gelehrt hat, und zwar auf dem Kneiphof. Heute befindet sich dort das Grabdenkmal Immanuel Kants. Eine breite russische Leserschaft machte allerdings erst im Jahr 1966 Bekanntschaft mit dem berühmten Königsberger Philosophen, als der Roman Michail Bulgakows Meister und Margarita in zensierter Fassung gedruckt wurde.

Die Situation in Kaliningrad heute. Das rote Kreuz auf dem Kneiphof markiert das Grab Immanuel Kants

 

Quellen und Literaturhinweise

Am liebsten lasse ich mir das Brückenproblem und Eulers Lösung immer noch von Cliff Stoll erläutern: Numberphile Video, publ. Nov 2 2016.

Eulers Originalschrift: L. Euler, Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis, Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae 8 (1736) 128-140 = Opera Omnia (1) 7 (1911-56), 1-10.

In dem Dialog wurde auf Peter Bergers Übersetzung dieser Arbeit zurück gegriffen. Enthalten in: Berger: Graphentheorie. 2016.

Platons Menon lieferte die Vorlage für das Diener-Zwischenspiel.

Von zeno.org: Über ein vermeintes Recht aus Menschenliebe zu lügen. Immanuel Kant: Werke in zwölf Bänden. Band 8, Frankfurt am Main 1977. Erstdruck in: Berlinische Blätter, 1. Jg., 1797, S. 301-314.

Im 122. Brief an die Prinzessin, datiert auf den 25. April 1761, wendet sich Leonhard Euler gegen den zentralen Einwand gegen die Teilbarkeit ins Unendliche. Wenn, so Euler, die Eigenschaften, die den abstrakten Begriffen zukommen, nicht auch bei den wirklich existierenden Dingen vorhanden sind, so hätten die Schlußfolgerungen der Mathematik, ja überhaupt jeder Wissenschaft, keinerlei Geltung für die Außenwelt. Aus: Leonhard Euler, Briefe an eine deutsche Prinzessin, Philosophische Auswahl, Reclams Universalbibliothek Band 239, 3., durchgesehene Auflage.

„Man weiß heute kaum mehr, wie verworren die Lage der Physik [und Metaphysik! Ergänzung wüstegarten] jener Zeit war, Philosophen, Theologen und Naturforscher brachten ihre Denkformen mit und glaubten, mit ihnen etwas anfangen zu können, wobei jeder seine eigene Meinung vorbrachte, ohne wirkliche Sachkenntnis. Heute lesen sich die Eulerschen Abhandlungen sehr einfach, weil seine Lehren Allgemeingut sind, aber gerade darum wird man seinen Leistungen nicht gerecht, denn damals war er der einzige, der die richtige Einsicht hatte. Darauf hat namentlich Kant mehrfach sehr scharf hingewiesen.“ – Andreas Speiser im März 1960, aus der Einleitung zum Nachdruck der Briefe, Ausgabe 1986.

Fig.1 und Fig. 2 sind Eulers Zeichnungen aus der Arbeit von 1736, entnommen aus: Hopkins, Brian & Wilson, R.J. (2004). The Truth about Königsberg. VOL. 35, NO. 3, MAY 2004. The College Mathematics Journal

Quelle für den Kartenausschnitt des heutigen Kaliningrad: https://bestmaps.ru/map/osm/map/16/54.7061/20.5126

Das preisgekrönte Hörspiel von Bulgakows Der Meister und Margarita ist beim Bayrischen Rundfunk nachzuhören.

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Dies ist ein Artikel aus der Serie „Ein Tribut auf Leonhard Euler“. Hier geht es zum einleitenden Artikel: Der hellste Geist in einer Epoche der Erleuchtung.

Anmerkungen   [ + ]

1. Die Vollständige Anleitung zur Algebra erschien erstmals 1768 in St. Petersburg in russischer Übersetzung. Euler hat hier erstmals einen Beweis dafür geliefert, dass die Fermatsche Vermutung für dritte Potenzen richtig ist und den Fundamentalsatz der Algebra streng formuliert, den allerdings erst Gauß im Jahr 1799 in seiner Dissertation beweisen konnte. Eulers Gehilfe Nikolaus Fuß berichtet in seiner Éloge de Monsieur Leonard Euler (1783), dass Euler das betreffende Manuskript erst dann als druckreif betrachtete, wenn ein Schneidergeselle, den Euler als Bediensteten aus Berlin nach St. Petersburg mitbrachte, den Text vollständig verstanden hatte. Bis heute mehrfach als Reclam-Bändchen aufgelegt, wurde sie zu einem Bestseller. In den Zeitraum der Entstehung der Algebra fallen auch Eulers Integralrechung, seine Optik, die zweite Mondtheorie und die zweite Schiffstheorie.
2. Analysis situs oder Geometria situs. Erstmals 1679 von Gottfried W. Leibniz in einem Brief an Christian Huygens erwähnt.