In einem unbekannten Land vor gar nicht allzu langer Zeit, war eine Königin, gar herrlich und sehr bekannt, von ihr sprach alles weit und breit. Und diese Königin heißt Königin aller Wissenschaften, Sprache der Natur und höchste Kunst des menschlichen Geistes, die zauberhafte, unvergleichliche und fast schon göttliche Mathematik — die erste freie Wissenschaft, die um ihrer selbst willen von freien Menschen getrieben wurde.

Es begab sich eines Tages, da wollte die Mathematik eine Party feiern und beauftragte Leonhard Euler damit, die Ehrengäste auszuwählen. Alle sollten die neuen Wasserbrunnen ihres Schlosses Sanssouci bewundern, deren Berechnungen Euler anstellte.

Alle Maxima und Minima, alle Mengen von Zahlen, Konstanten, Kurven, Integrale, … kurzum alle Größen der Mathematik waren aus allen ihren Grenzen gekommen. Als die geladenen Gäste erschienen, begrüßten sie feierlich die wichtigsten Promis, die Euler an einer Ehrentafel versammelte:

eiπ+1=0


Eulers Gleichung führt die Liste der schönsten Formeln der Mathematik
. Allgemein verwendete mathematische Symbole und Konzepte, die exakt erfasst werden können und in vielen Gebieten der Naturwissenschaft und des Ingenieurwesens angewendet werden, fügen sich hier wie in einem Puzzle zusammen. Die Formel ist mathematisch bewiesen, also muss sie wahr sein, doch niemand weiß genau, was sie bedeutet. Das Puzzle selbst ist zwar gelöst, das Gesamtbild, das sich ergibt, ist nach wie vor ein Rätsel.

Vielleicht gehört dieses Rätsel in die Reihe der Fragen, die nicht beantwortet werden dürfen. Vielleicht ist es ein ähnliches Phänomen, wie wir es bspw. in der Quantenphysik finden: Wenn man ein Elementarteilchen als Teilchen erfassen will, verschwindet seine Eigenschaft als Welle und umgekehrt. Oder in der Kunst: Die Bedeutung eines Gemäldes erschließt sich nicht durch das isolierte Betrachten eines Details. Ich bin nicht willens, mich um solche harmlose Vielleichts zu kümmern. Das Folgende wird sich mit dem Teil befassen, was mit dem Gesamten fast unverträglich ist.

Lassen wir die Promis selbst zu Wort kommen und uns aus ihrer Geschichte und von ihren besonderen Eigenschaften erzählen.

Null und Eins

Beginnen wir damit, dass wir nichts mit geringen Größen zu tun haben. Das hat vor allen anderen der große Gelehrte Leibniz erkannt, der uns über alle Maßen geehrt hat. Für ihn waren wir nicht einfach nur definitionsmäßige Symbole der Begriffe für Existenz und Nichtexistenz, sondern das Sinnbild der Erschaffung aller Dinge aus dem Nichts durch die Allmacht Gottes.

Die Arithmetik im Dualsystem kommt allein mit der 1 und der 0 aus. Hieraus entstehen alle Zahlen und alles. Und so fand sich für Leibniz kein besseres Vorbild in der Natur und der Philosophie, welches das Geheimnis der Schöpfung demonstrierte. Also wurden die leere Tiefe und wüste Finsternis zu Null und Nichts gezählt, der Geist Gottes aber mit seinem Lichte zur allmächtigen Eins. – Mag man nun Leibniz hierin folgen oder nicht, mit dem Zahlensystem, welches allein mit Null und Eins auskommt, wurden schon die ersten elektronischen Rechenmaschinen gebaut und dasselbe wird auch auf allen modernen Computern verwendet. Wer wird leugnen, dass sich hierin die Überzeugung der Pythagoreer auf unerwartete Weise erfüllt hat: Alles ist Zahl.

Ich, die Null – die Ägypter kannten mich nicht, die alten Griechen auch nicht, und soweit man sagen kann, auch die Chinesen nicht. Bevor die Europäer Umgang mit mir hatten, kannten mich schon die Araber, die Inder und die Maya. Der früheste bekannte Text, der die Null als vollwertige Zahl behandelt, datiert auf 628 n. Chr. und stammt von dem indischen Mathematiker und Astronomen Brahmagupta. Vor ihm hatten schon die Babylonier (6. Jhdt v. Chr.) den Wert Null als Leerzeichen verwendet. Die Null wurde gelegentlich in der Mitte einer Zahl durch einen leeren Zwischenraum, später auch durch ein Zeichen, das sonst als Worttrenner diente, bezeichnet, jedoch nie am Ende.

Es ist leicht einzusehen, dass eine besondere Ziffer, die als Platzhalter dient, große Verwirrung verhindern kann. Wenn die absolute Position nicht angegeben ist, lässt sich allenfalls dem Zusammenhang erschließen, welcher Wert gemeint ist.

Abgesehen von meiner Nützlichkeit als Symbol, bin ich in jedem Bereich der Mathematik angefangen bei den Grundrechenarten bis hin zu den spezialisiertesten Zweigen der abstrakten Algebra, Analysis und der theoretischen Statistik wichtig. Dass sich die moderne Mathematik entwickelt hat, dazu hat auch die Verwendung der Null beigetragen.

Die Null ist weder positiv noch negativ. Aber neutral verhalte ich mich nur in der Addition. In der Multiplikation, ergeben alle Zahlen, mit mir multipliziert: die Null! Ich bin die einzige Zahl, bei der die Summe mit sich selbst mit dem Produkt mit sich selbst übereinstimmt und die beiden Ergebnisse gleich der Zahl selbst sind. Ich erfülle zwar alle Eigenschaften einer geraden Zahl, doch lasse ich im Gegensatz zu anderen nicht alles mit mir machen. Du kannst nicht durch Null dividieren und Null mit Null nicht potenzieren.

Die Null ist in zahlreiche Metaphern eingegangen: „Stunde Null“, etwas ist „null und nichtig“ und wenn Kinder „bei Null beginnen“ zählen und rechnen zu lernen, so beginnen sie mit der Eins.

Ich, die Eins, bin die1\cdot 1=1^{1}=1=1! einzige Zahl, bei der das Produkt mit sich selbst, die Potenz mit sich selbst, die Zahl selbst und die Fakultät übereinstimmen. In der Multiplikation verhalte ich mich neutral. Nachdem der Leibniz mir den Geist Gottes beigezählt hat, bleibt nicht viel hinzuzufügen.

Dass aus uns, der Eins und der Null, alles entsteht, lässt sich leicht rechtfertigen. Durch vollständige Induktion gewinnen wir durch Addition, eine neue Zahl, nämlich die nächstfolgende, indem einer vorhandenen die Eins hinzugefügt wird. Aus diesem arithmetischen Urprozess, der n in n+1 verwandelt, gewinnen wir die Multiplikation mit 10 und dann durch 12-malige Anwendung, ausgehend von der 1, die Zahl 1012 — eine Zahl von unvorstellbarer Größe. Solche Zahlen eindeutig zu benennen, mag den Menschen heute selbstverständlich erscheinen, für die Alten war es das ganz und gar nicht.

Beim Umgang mit solchen Zahlen hatten sie, man kann es nicht anders sagen, religiöse Gefühle. Wahrscheinlich sind ihnen vor Verzückung über die Vorzüge ihres Zahlensystems die Tränen gekommen. Nehmen wir bspw. die indische, vor allem die buddhistische Literatur. Ihre Verfasser schwelgen geradezu in den Möglichkeiten, durch das Positionssystem, durch Verbindung von Addition, Multiplikation und Potenzieren ungeheure Zahlen eindeutig zu benennen. Das dezimale System ist anderen Zahlensystemen überlegen, weil jede Ziffer einen steigenden Wert darstellt, was nicht nur für die alten Inder phantastisch war, sondern auch in der jetzigen Zeit unheimlich nützlich. Man kann sich leicht davon überzeugen, indem man bspw. versucht, eine Addition mit den römischen Zahlen, die keinem Stellenwertsystem folgen und keine Null kennen, durchzuführen.

Worin bestand aber die Phantastik, die sie darin erblickten? Vielleicht in der geistigen Fähigkeit durch ein Symbol über die Grenzen dessen hinauszufliegen, was sich anschaulich vollziehen lässt? Etwas Verwandtes finden wir bei den Griechen in der späteren Zeit: Die Lust an der rationalen Bewältigung des Uferlosen. Heute versetzt das kaum einen mehr ins Staunen. Aus diesem Grunde sind wir Zahlen froh, dass wir hier endlich einmal ausführlich zu Wort kommen dürfen. Zu meiner eigenen Geschichte gibt es nur so viel zu sagen:

Die Eins –
uralt bin ich,
mich kannte schon der erste Mensch.
Und dieser Erste wollte mit dem Zweiten Eins sein.
Die Ersten und die Besten alle –
sie sind es,
die meinen Ruhm
und meine Ehre mehren.
„Alle für einen und einer für alle“,
„Es kann nur einen geben“,
schließlich kann „die Nummer 1“
ja doch nur einer sein.

Fortsetzung folgt: Ein Unplatonischer Dialog zwischen eπ und i.

 

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Dieser Artikel wurde erstellt mit Hilfe folgender Quellen:

  • Becker, Oskar: Grundlagen der Mathematik: in geschichtl. Entwicklung; 1. Aufl., suhrkamp, 1975
  • Weyl, Hermann: Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft; 6. Aufl., Oldenbourg, 1990
  • Titelbild: A water droplat splash. By Luke Peterson from Sydney, Australia (Splash!) [CC BY 2.0], via Wikimedia Commons