Eins ist klar: Ich bin kein Fußballfan und will es auch nicht werden. Aber dass ein Fußball etwas Besonderes ist – das weiß jedes Kind und ist auch meinen Augen nicht entgangen. Warum eigentlich? Die Regelmäßigkeit seines Körpers macht seine Besonderheit aus. Was ist so besonders daran, regelmäßig zu sein? Ist es nicht im Gegenteil – langweilig? Holen wir einen Fußball vom Spielfeld vor unser geistiges Auge und sehen, dass die Mathematik Wissenschaft, Spiel und Kunst zugleich ist.

Übersetzen wir unsere Vorstellungen in Begriffe: Mathematisch lässt ein klassischer Fußball mit der Wabenstruktur als die Projektion der Flächen eines abgestumpften Ikosaeders auf die Kugeloberfläche beschreiben. Ein Ikosaeder ist ein regelmäßiger konvexer Körper, dessen Seitenflächen die Form von regulären Dreiecken haben; davon besitzt das Ikosaeder genau 20 Stück, denen er seinen Namen verdankt. Durch Abstumpfen der Ecken kommt man zu einem abgestumpften Ikosaeder, dessen Seitenflächen nunmehr abgeschnittene Dreiecke sind. Ein abgeschnittes Dreieck nennt man ein Vieleck (Polygon). Beim Isokaeder erhält man nach Abstumpfen aller Ecken genau 20 Sechsecke und 12 Fünfecke, die zusammen einen Fußball-Polyeder begrenzen. Ein echter Fußball ist aus Lederstücken dieser Anzahl und Form zusammen genäht. Die doppelte Anzahl der Sechsecke und Fünfecke ergeben schon keinen doppelt so großen Fußball; sie ergeben gar keinen Ball, um genau zu sein. – Warum nicht? Das lässt sich mit Hilfe der Eulerschen Polyederformel beantworten – die Nummer zwei auf der Rangliste der schönsten Formeln der Mathematik.

Screenshot der Vorschau des Artikels „Are These the Most Beautiful?“ in: The Mathematical Intelligencer (1990) bei Springerlink

Regelmäßig heißen all diejenigen konvexen Körper, die ausschließlich von diesen gleichseitigen und gleichwinkligen Figuren begrenzt sind:

Das sind konvexe Polygone. Es gibt beliebig viele Polygone, aber nur solche sind konvex, bei denen es möglich ist, eine Verbindungslinie zwischen beliebigen zwei Punkten des Polygons vollständig in seiner Fläche zu ziehen. Anders lässt sich das so vorstellen: die Verlängerung einer seiner Seiten schneidet das Polygon nicht. Von der Ebene in den Raum übertragen: Ein Körper heißt konvex, wenn zwischen zwei Punkten, die nicht auf derselben Seitenfläche liegen, eine Verbindungslinie innerhalb des Körpers gezogen werden kann. Etwas einfacher ausgedrückt: Der Körper hat keine Löcher oder Wölbungen nach innen.

In einem regelmäßigen Körper treffen sich in allen Ecken gleich viele solcher Flächen und alle Flächen sind durch gleich viele Seiten begrenzt. Es gibt beliebig viele regelmäßige Vielecke mit beliebig großer Seitenzahl. Wechseln wir von der Ebene in den Raum, stellen wir fest, dass es nur fünf regelmäßige Körper gibt. Die Bedingungen, die wir den regelmäßigen konvexen Körpern auferlegt haben, dass nämlich alle ihre Flächen deckungsgleich sind und in allen Ecken gleich viele Kanten zusammen laufen, ertragen nur die fünf platonischen Körper (No. 4 der „most beautiful“). Drei davon sind durch gleichseitige Dreiecke begrenzt: das Tetraeder (Pyramide), das Oktaeder und das Ikosaeder; einer durch Quadrate: das Hexaeder (Würfel), und einer durch regelmäßige Fünfecke: das Dodekaeder.

Darstellung der platonischen Körper und ihrer Konstruktion in Harmonices Mundi (1619) | Johannes Kepler [Public domain]

Eine phantastische Anwendung der platonischen Körper findet sich im Mysterium cosmographicum (1596) bei Johannes Kepler. Ihr liegt die Vorstellung zugrunde, Gott habe in der Schöpfung die Zahl der Planeten und ihre Bahnen um die Sonne mittels der fünf platonischen Körper festgelegt.

Kepler untersuchte die Polyeder systematisch und fand heraus, dass man durch geeignetes Abschneiden der Ecken und Kanten der platonischen Körper weitere nicht-reguläre Polyeder konstruieren konnte. Aus Überlieferungen lässt sich schließen, dass Archimedes (* um 287 v.Chr.) sie bereits definiert hatte. Der Fußball-Polyeder gehört zu der Klasse der nach ihm benannten Körper. Im Unterschied zu den platonischen Körpern sind bei den archimedischen nicht alle Flächen deckungsgleich. In der Renaissance wurden sie von verschiedenen Künstlern und Mathematikern wiederentdeckt, bis es schließlich Kepler gelungen ist, die gesamte Klasse der archimedischen Körper zu vervollständigen, ohne dass er mit der Vorarbeit des Archimedes vertraut war.

Darstellung nicht-regelmäßiger Polyeder in Harmonices Mundi (1619). Nr. 4. ist unser Fußball-Polyeder | Johannes Kepler [Public domain]

Solche geometrischen vollkommenen Figuren und Körper faszinierten und beschäftigten nicht nur die alten Ägypter und Perser, die Mathematiker, Künstler und Philosophen der griechischen Antike und der Renaissance (hier u.a. Leonhardo da Vinci, Albrecht Dürer, Hans Holbein, Wenzel Jamnitzer). Im Ashmolean Musium in Oxford werden einige hundert kugelförmige Steine mit engravierten Verzierungen aufbewahrt, die die Symmetrie der sphärischen Körper Dodekaeder, Tetraeder, Oktaeder, Ikosaeder und Hexaeder aufweisen. Man datiert sie auf ca. 4000-1400 v.Chr. (Neolithikum, Bronze) – geschnitzt wurden sie mindestens ein Jahrtausend vor Platon, fernab von den Hochkulturen des Mittelmeers und des fruchtbaren Halbmodes: im Norden Schottlands.

Pyrit auf Quarz | CarlesMillan [CC BY-SA 4.0]

Lange bevor sie von Menschen so genannt wurden, wurden in natürlichen Kristallen die Formen der platonischen Körper verwirklicht. Das Kieselskelett von Plankton und die Proteinstruktur mancher Viren nimmt die Form eines Ikosaeders an.


Es liegt etwas atemberaubendes in den Grundgesetzen der Kristalle. Sie sind keine Schöpfungen des menschlichen Geistes. Sie »sind« – sie existieren unabhängig von uns. In einem Moment der Klarheit kann der Mensch höchstens entdecken, dass es sie gibt und sich Rechenschaft davon geben.
– M.C.Escher, 1959 (zitiert nach Der Zauberspiegel des M.C.Escher, Bruno Ernst)


Das Spiel mit Abstraktionen an geometrischen Motiven, die nichts mit Messen von Längen von Strecken oder Größen von Winkeln zu tun haben, nahm eine zentrale Stellung in der antiken griechischen Geometrie ein. Bereits die Pythagoreer (6. Jhdt. v. Christus) wussten, dass es mindestens fünf regelmäßige Körper gibt. Den ersten Beweis lieferte Theaitos (* um 415 v. Chr.; Zeitgenosse Platons, bekannt u.a. aus dem gleichnamigen Dialog), dessen Überlegungen in Euklids Elemente (* um 300 v. Chr.) eingegangen sind. Schließlich hat Leonhard Euler (1758) für alle konvexen Polyeder die folgende Formel aufgestellt:

e+k+f=2

e bezeichnet die Anzahl der Ecken, f die Anzahl der Flächen und k die Anzahl der Kanten eines konvexen Polyeders. Diese Zusammenhänge erkannte bereits René Descartes (1596 – 1650), sie wurden unabhängig von ihm von Leonhard Euler wiederentdeckt und mit Beweis publiziert.

C60 Fulleren
Dies ist kein Fußball, sondern das Modell eines geschlossenen Moleküls aus 60 Kohlenstoffatomen. C60-Fullerene weisen dieselbe Anordnung der Polygone zu einem abgestumpften Ikosaeder auf. Verwendung: industrielle Fertigung organischer Solarzellen. | Sponk [CC BY-SA 3.0].

Empirisch lässt sich diese Formel an einem Fußball nachprüfen: Zähle seine Flächen, Kanten und Ecken schrittweise, beginnend bei einer Kante und ihren beiden Ecken sowie der angrenzenden Fläche, und überprüfe nach jedem Schritt durch Hinzufügen einer weiteren Kante und ihrer Ecke, ob die Formel noch erfüllt ist; der Vorgang lässt sich durch Einfärben erleichtern. Die Anzahl der Ecken, Kanten und die Flächen von zwei Fußbällen erfüllen diese Formel nicht. Probiere es aus, zerschneide zwei Fussbälle in ihre Lederstücke und versuche sie zu einem Ball zusammen zu nähen.

Der Mathematiker gibt sich mit dem Abzählen an bunt angestrichenen Fußbällen oder Modellen von anderen Körpern natürlich nicht zufrieden. Er will einen zwingenden logischen Beweis, dass die Formel für alle möglichen Polyeder zutrifft, und nicht nur solche, für deren Konstruktion er selbst die Zeit aufbringen kann. An konkreten Fußbällen ist er ja nicht interessiert, woran er seine Freude hat, ist die mathematische Form allgemeiner Sätze über abstrakte Objekte. Daher, für alle, die es brennend interessiert, gibt es hier eine Zusammenstellung von 20 Beweisen der Eulerschen Polyederformel. So einfach die Polyederformel aussieht, sie zu beweisen ist nicht so trivial. Eulers eigener Beweis ging von einer fehlerhaften Annahme aus (nobody is perfect!); der erste korrekte Beweis wurde wohl von Legendre (1794) vorgelegt. Aber seine Lösungsmethode und Verallgemeinerungen waren wegweisend für Mathematiker späterer Generationen.

Die Reichweite der Gültigkeit der Formel geht weit über Polyeder und elementare Geometrie hinaus. Sie wird als die bei weitem wichtigste Formel in der systematischen Entwicklung der modernen mathematischen Disziplin Topologie angesehen [Courant et al.]. Anwendung findet sie z.B. in der mathematischen Untersuchung von beliebigen dreidimensionalen Oberflächen und des Raums (z.B. der From des Universums), in der Festkörperphysik z.B. in die Halbleiterherstellung.

 

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Dies ist ein Beitrag aus der Serie „Ein Tribut auf Leonhard Euler“. Hier geht es zum einleitenden Artikel: Der hellste Geist in einer Epoche der Erleuchtung.

 

Quellen und Literaturhinweise:

Ashmolean Museum, Thinking With Things, Professor Marcus Du Sautoy (Mathematics, University of Oxford) looks at the Carved Stone Ball: URL.

Euler, L.: Novi commentarii Academiae scientiarum Imperialis Petropolitanae 6 (1752–1753).

Courant, R., Robbins, H., Stewart, I.: What ist Mathematics? An elementary approach to Ideas and Methods. 2nd revised edition. Oxford University Press, 1996.

20 Beweise der Eulerschen Polyederformel: URL.

Über die Herstellung von reinem Silizium: URL.

Vom Quartz zum Microchip, eine Diashow die es sich anzuschauen lohnt.