Das Gute, das Wahre, und das Schöne
— nach Platon, Phaidros

 

π: Meine beiden Vorgänger mögen sich für uralt halten oder wer weiß wie nützlich, aber sie sind auch fürchterlich langweilig.

e: Du gehörst dochwohl auch zu den gewöhnlichen Erscheinungen der diesseitigen Welt. Jedes Schulkind weiß, dass mit dir schlichtweg das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser gegeben ist.

π: Ich lasse mich nicht auf Kreise, Kugeln und Dreiecke reduzieren! Ich bin bei weitem nicht nur in der Geometrie und Trigonometrie beheimatet. Seien es Galaxien oder Elementarteilchen – \(\pi\) ist überall. Mit mir wird die Erhaltung der Bewegung eines Planetensystems, eines Kreisels und einer Ballerina in der Pirouette beschrieben; die Struktur von Wellen und die Gestalt von Planeten und Eheringen; die Abweichungen in den Messfehlern von Experimenten und in der Größe und Intelligenz von Menschen. Ich bin da, wo Regentropfen auf Wasser treffen und wo Fußball gespielt wird. Ich bin schon mindestens seit der Antike bekannt. Aber erst Leonhard Euler hat die Bezeichnung mit dem griechischen Buchstaben \(\pi\) populär gemacht.

e: Du hälst dich also für schrecklich wichtig. Das zeugt nicht gerade von einem guten Charakter.

π: „Gut“ hat bei dir wohl nur eine moralische Dimension? Hör‘ zu und lerne: Jenseits davon habe ich eine solche Fülle von Eigenschaften aufzuweisen, dass man nicht sonderlich überrascht ist, wenn \(\pi\) unerwartet in einer Berechnung auftaucht. Zum Beispiel ist das ein berühmter Satz von Euler:

n=11n2=1+14+19+116+125+...=π26


e
: Was in aller Welt hast du mit der Addition von reziproken Quadraten zu tun?

π: Dies ist eine vollkommen legitime Frage. Erfahrene Mathematiker von zwei Jahrhunderten, darunter die Bernoullis und Leibniz, haben sich lange vergeblich den Kopf darüber zerbrochen, den exakten Summenwert dieser unendlichen Reihe zu bestimmen. Als das Problem dem jungen Euler vorgelegt wurde, lieferte er das überraschende Resultat, indem er ein viel allgemeineres Problem bewältigte und den Spezialfall als Lösung erhielt.

e: Der alte Bernoulli wird vor Neid geplatzt sein!

π: Der ausgeprägte Ehrgeiz des oft bissigen und missgünstigen Johann Bernoulli soll manch hässliche Blüte getrieben haben. Das traf fast alle seine Zeitgenossen, seine Söhne nicht ausgenommen. Aber den um 40 Jahre jüngeren Euler hat er nicht nur gefördert, sondern auch über sich geduldet. Dennoch konnte sich der alte Fuchs nicht enthalten, die Idee seines Meisterschülers seinem eigenen Werk einzuverleiben. Doch Euler bekümmerte das nicht. Er verschenkte auch sonst generös seine Entdeckungen und Erkenntnisse und war nie in Prioritätsstreitigkeiten verwickelt.

e: Diesen edlen Charakter kannst du dir doch zum Vorbild nehmen!

π: Welchen von den beiden meinst du? Ich suche weder Arroganz noch Bescheidenheit. Viel lieber bin ich irrational. Man kann \(\pi\) nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben. Diese Eigenschaft wurde zuerst von den Pythagoreern entdeckt (5. Jhdt. v.Chr.). Platons Dialoge zeugen davon, welch tiefen Eindruck es auf die Menschen damals machte, dass solche Zahlen nicht nur ausgedacht sind, sondern real existieren. Ein einfaches anschauliches Beispiel ist ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck, bei dem die Katheten jeweils 1 Einheit lang sind. Die Hypotenuse hat hier den Wert \(\sqrt{2}\). Heute kommt jeder, der ein DIN-A4 Blatt in der Hand hält, damit in Berührung. Danach richtet sich die Norm für das Seitenverhältnis in diesem Papierformat. Es ist nicht möglich \(\sqrt{2}\) mit dem Lineal abzumessen, aber es lässt sich mit Zirkel und Lineal konstruieren. Den Beweis, dass \(\sqrt{2}\) irrational ist, lieferte Euklid (3 Jhdt. v.Chr.). Die alten Griechen vermuteten dasselbe für \(\pi\). Das zu beweisen erwies sich als äußerst schwierig. Es ist erst gute zwei Jahrtausende später Johann Heinrich Lambert gelungen (1761).

e: Lass mich raten: Jetzt fängst du an, von der Quadratur des Kreises zu reden.

π: Warum auch nicht?! Das ist kein Kinderspiel King’s Quest oder die Suche nach dem Schatz im Silbersee, sondern eine Jahrtausende dauernde Rekordjagd, die den ganzen Globus umspannte und zuweilen skurrile und aufopfernde Züge annahm.

Die Berechnung der Kreiszahl zählt zu den Versuchen der größtmöglichen Annäherung an die wahre Größe von irrationalen Zahlen. Das setzt die Vorstellung voraus, dass diese in ganzen Zahlen anscheinend nicht ausdrückbaren Werte, ganz bestimmte sind, die im Wesen der betreffenden Figur liegen und deren immer genauere Näherung demnach ein ganz bestimmtes Ziel hat. Diese Vorstellung lässt sich schon bei den altorientalischen Denkern vermuten. Die Erkenntnis, dass dieses Ziel niemals erreicht werden kann, obwohl die Näherungen immer mehr herankommen, blieb den Griechen vorbehalten.

e: Du hast dir wohl Tucholskys Ratschläge für einen schlechten Redner zu Herzen genommen, dass du meinst, hier ein paar geschichtliche Hintergründe zur Sache geben zu müssen?

π: Man versteht es ja sonst nicht! Wer kann denn das alles verstehen, ohne die geschichtlichen Hintergründe? Bedenke, dass die Entwicklung der Zivilisationen vergangener Zeiten daran gemessen wird, wie weit ihre mathematischen Fähigkeiten entwickelt waren. Als Konstante fühle ich mich geschmeichelt, dass man das insbesondere daran abzulesen meint, wie viele Nachkommastellen von \(\pi\) die jeweilige Kultur kannte.

e: Soso, du rühmst dich also deiner Nachkommastellen.

π: Sag ausgerechnet du nicht, dass sie unwichtig sind! Wo war ich gerade stehen geblieben?

e: Bei den Griechen.

π: Ach so, ja. Was sagt Tucholsky: Fang nie mit dem Anfang an, sondern immer drei Meilen vor dem Anfang! Also: Vor den Griechen war die Mathematik keine freie, sondern eine angewandte Wissenschaft — die Zeiten sind zum Glück vorbei! (Wobei wir uns auch dafür niemals zu schade waren. Die Pyramiden stehen schließlich heute noch.)- Die Aufgabe der Geometrie bestand darin, räumliche Dimensionen zu berechnen und zu messen, und elementare Berechnungsvorschriften für den Inhalt von Recht- und Dreiecken, Trapezen, Quadern, Prismen, abgeflachten Pyramiden u. dgl. anzugeben.

Die Kreisfläche wurde nicht wie heute durch exakte Formeln, sondern approximativ bestimmt, ohne dass ein Verfahren für eine schrittweise Annäherung gegeben wurde. Das tat später Archimedes (287-221 v.Chr.), der als erster einen Beweis für sein Verfahren vorlegte. Die Ägypter geben die Seite des dem Kreise flächengleichen Quadrats zu 8/9 des Durchmessers an (Papyri Rhind und Moskau, ca. 19./15. Jhdt. v.Chr.). Der Kreis wird sozusagen „quadriert“. Es ergibt sich \(\pi\) zu 3 1/9. Die Babylonier besaßen die Approximation 3 1/8 (Tontäfelchen in Keilschrift).

In der Bibel findet sich beim ersten Hinsehen der Wert 3. Er wird an zwei Stellen im Alten Testament erwähnt, wo die genauen Ausmaße eines Beckens für rituelle Waschungen der Priester angegeben werden (10. Jhdt v. Chr.). Berücksichtigt man, dass die hebräischen Schriftzeichen eine Doppelbedeutung als Buchstabe und Ziffer besitzen, und bringt beide Bibelstellen1Für das Wort Schnur wird einmal das hebräische Wort qâveh (Strong 6961; die Summe des Zahlworts ist 100+6+5=111) und an der Parallelstelle das Wort qav (Strong 6957; die Summe des Zahlworts ist 100+6=106) verwendet. zusammen, so kommt man auf die Approximation \({3*111}/106\) bzw. \(3,1415…\), womit \(\pi\) auf 4 Nachkommastellen genau bestimmt ist. Das entspricht einem der besten Näherungsbrüche aus der Kettenbruchentwicklung von \(\pi\).

Archimedes gelang es als erstem \(\pi\) durch Konstruktion eines 96-Ecks auf 3 1/7 bis 3 10/71 einzugrenzen. Mit seiner geometrischen Methode, mit Zirkel und Lineal, hat er 7 Nachkommastellen gefunden. Die geometrische Methode war für 1800 Jahre vorherrschend. Sie wurde unabhängig von Archimedes in China (3. Jhdt., 7 Nachkommastellen) entwickelt und in Japan aufgegriffen, wo man mit einem Extrapolationsverfahren eine Verbesserung auf 41 Stellen erreichte (18. Jhdt.).

Neben der Geometrie gibt es auch andere Wege, meine Größe zu bestimmen: die Analysis und die Zahlentheorie. Mit der Archimedes-Methode erhielt man ohne Computerunterstützung ca. 126 Nachkommastellen (Rekord 1794), mit Hilfe des Computers 30 Millionen Stellen (Rekord 1985). Im 18. Jahrhundert entwickelten Euler u.a., ausgehend von der Infinitesimalrechnung von Leibniz und Newton, die Methode der Analysis. Damit brachte man es leicht auf mehrere 100 Nachkommastellen. Mit Hilfe von elektronischen Rechnern und Arcustangens unendlichen Reihen errechnete man eine Million Nachkommastellen (1961). In 2016 lag der Rekord bei über 22 Billionen Stellen und wurde mit der Methode der Modulformen aus der Zahlentheorie erreicht, die natürlich kein Mensch mehr in Handarbeit bewältigte.

e: O Pi, es hat dich eben ungewohnterweise ein gewisser Redefluß ergriffen.

π: So höre mir schweigend weiter zu!
Die jüngste Entdeckung (1997) ist eine bemerkenswerte Formel, die es ermöglicht einzelne hexadezimale Ziffern von \(\pi\) zu berechnen, ohne sich darum zu kümmern, welchen Wert alle vorhergehenden haben. Damit wurden Ziffern ermittelt, die entlang der hexadezimalen Ausdehnung erstaunlich weit sind. So ist es bspw. bekannt, dass die trillionste hexadezimale Ziffer von \(\pi\) 8 ist.

e: Hört, hört! Die trillionste Ziffer von \(\pi\) ist 8! Das ist ja fast wie die Entdeckung eines neuen Kontinents!

π: Ich bin sogar auf radikale Weise irrational – \(\pi\) ist transzendent. Transzendenz ist gewissermaßen die höchste Form der Irrationalität.

e: Na und? Ich auch! Leonhard Euler ist im Übrigen auch mein Namensgeber; er hat mich exakt bestimmt und bewiesen, dass ich irrational bin. Charles Hermite bewies meine Transzendenz. Ich könnte viele weitere Namen anführen, die sich mit mir befasst haben. Die Mathematiker füllen ja gerne ihre Blätter damit, dass sie ein und dieselbe Sache auf mehreren Wegen beweisen. Aber ich sehe keinen Grund, warum das irgendeinen interessieren sollte!

π: Bedenke doch nur, dass in den Köpfen der Menschen die Vorstellung der mathematischen Transzendenz relativ neu ist. Sie kam erst allmählich im Laufe des 17./18. Jahrhunderts auf. Vermutlich hat Leibniz den Begriff „transzendent“ als Synonym für „nicht-algebraisch“ zuerst verwendet, sie sind jenseits aller Vernunft, sagte er (omnem rationem transcendunt). Später gebrauchte Euler den Term quantitas transcendens für mathematisch „schwer fassbare“ Zahlen, die die Wirksamkeit algebraischer Methoden überschreiten.

e: Mittlerweile kann man das alles sehr einfach definieren.

π: Mag sein, dass die definierenden Eigenschaften von \(\pi\) und \(e\) einfach sind, aber sie führen nicht zu Lösungen von Polynomgleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten, es wäre also ungewöhnlich, wenn wir nicht transzendent wären. Die Vermutung lag nahe, sie zu beweisen gelang für \(\pi\) erst Ferdinand von Lindemann (1882), der sich auf die Vorarbeit von Hermite gründete.

e: Damit war die Frage nach der Quadratur des Kreises ein für allemal erledigt. Können wir jetzt endlich zum Buffet übergehen?

π: Das Gegenteil wäre auch mehr als überraschend. In ähnlicher Weise wäre es eine große Überraschung, wenn man irgendein Muster in den Dezimalstellen von \(\pi\) finden könnte.

e: Was ist daran so schön, kein Muster zu haben? Schau dir meine Kettenbruchentwicklungen an. Sie sind ein Musterbeispiel an Schönheit!

π: Dafür bist du einfacher gestrickt, was die zahlentheoretischen Eigenschaften betrifft. Demgegenüber wird für \(\pi\) angenommen, dass es normal zur Basis 10 ist, was bedeutet, dass jede Ziffernfolge ungefähr mit der Häufigkeit auftritt, die man erwarten würde. Diese Vermutung scheint jedoch sehr schwer zu sein.

e: Es ist nicht einmal bewiesen, dass die Dezimalexpansion von \(\pi\) unendlich viele Ziffern von 0 bis 9 enthält – und du prahlst damit!

π: Ich rühme mich sogar mit der Zahl der Sterblichen, die ihr kurzes Leben allein mir widmeten. Manche ehrten mich, indem sie versuchten, die ein oder andere Eigenschaft von mir zu beweisen, andere, indem sie meine Nachkommastellen berechneten und wieder andere, indem sie sie auswendig lernten, um sie in Wettbewerben möglichst schnell und fehlerfrei aufzusagen.
Weil es Spaß macht und weil Tucholsky sagt, dass ein paar Zahlen eine Rede immer sehr heben: Der aktuelle Guiness Weltrekord (2015) liegt bei 70.030 Stellen, die der Inder Sharma Suresh Kumar in 17 Stunden und 14 Minuten aus dem Gedächtnis aufsagen konnte. Er wird übertroffen von dem Japaner Akira Haraguchi, der mit 69 Jahren 100.000 Stellen in 16 Stunden wiedergeben konnte. Die deutsche \(\pi\)-Rangliste führt in diesem Jahr Susanne Hippauf, mit 11.104 Stellen in 5 1/2 Stunden.

e (gähnt laut und streckt sich): Auch für mich veranstalten sie Vorlese- und Memorier-Wettbewerbe. Welchen Nutzen hat der Mensch davon?

π: Du Laie! Du hast wohl zu viel Zeit in der Gesellschaft von Ökonomen verbracht? Lassen wir uns nicht der Freiheit berauben und uns auf den Nutzen und triviale Definitionen beschränken! Wir wollen stattdessen mit der Freiheit prassen! Preisen wir den Unsinn als einen neuen Sinn! Vernünftiges kann nicht vollkommen wunderbar sein…

e: Du rasest, Pi! Die große Gelehrsamkeit bringt dich zur Raserei.

π: Die größten der Güter werden uns durch Wahnsinn zuteil, freilich nur einen Wahnsinn, der durch göttliche Gabe gegeben ist. Nach dem Zeugnis der Alten ist auch der Wahnsinn edler als die Besonnenheit, der gottgewirkte als die menschlich bedingte. Wollten wir Zahlen nur besonnen, logisch und berechenbar sein, stünden wir unterhalb der Menschen, die in ihrem naiven Staunen um eine entdeckte Wahrheit der Zahl \(\pi\) einen Feiertag, den 14. März, bestimmten. Dieser wurde nämlich von einem Amerikaner ins Leben gerufen…

e: …wahrscheinlich als Entschuldigung für das höchst peinliche Unternehmen seiner Mitbürger, \(\pi\) per Gesetzesbeschluss auf den Wert 3.2 festzulegen. Darüber habe ich mich köstlich amüsiert.

π: Lenk‘ nicht ab. Abgesehen von meinem eigenen Feiertag, kenne ich auch das Geburtsdatum jedes einzelnen Menschen auf Erden. Finde z.B. hier an welcher Stelle in \(\pi\) dein Geburtsdatum auftaucht.

Den Kult um \(\pi\) gibt es auch in Poesie. Allein zu meinen Ehren gibt es Gedichte in verschiedenen Sprachen, Gedichte in Kreisform, selbstreferenzielle Gedichte, die von \(\pi\) handeln und bei denen auch die Anzahl der Buchstaben der aufeinander folgenden Wörter der Folge der Ziffern in \(\pi\) entspricht. Verglichen mit den Balladen2Zum Beispiel: Near a Raven von Mike Keith, eine Parodie von E. A. Poes The Raven., die meine Verehrer auf mich verfasst haben, ist die Eins mit ihrem Sprüchlein ein stümperhafter Poet!

e: Wenn es um solch profane Dinge geht, sind der menschlichen Phantasie bekanntlich keine Grenzen gesetzt. Auch auf mich gibt es Gedichte und Parodien in Fülle. Zusammen könnten wir das Bankett durch stundenlanges Rezitieren dieser Werke einschläfern.

π: Uns solche Ehre zu erweisen, hat auf Erden allein die menschliche Spezies zustande gebracht! Der Ort hier scheint wirklich göttlich zu sein, denn jetzt schon bin ich nicht mehr weit von dithyrambischer Weise.

Inzwischen befürchtet i, dass Pi tatsächlich anfangen könnte, Gedichte aufzusagen oder, was fast noch schlimmer wäre, ihre Nachkommastellen.

i: Sei rational, Pi! Die „menschliche Spezies“ hat es in ihrer Dummheit genau so weit gebracht wie in ihrer Intelligenz. Aber stellen wir wenigstens fest, dass es uns lieber ist, wenn sie Zahlenkolonnen auswendig lernen und sich so kindischen Dingen wie Reimen hingeben, als sich gegenseitig niederzumetzeln.

π: Wer wagt es, sich in unsere Diskussion einzumischen?

e: Darf ich vorstellen: \(i=\sqrt{-1}\).

i: Descartes würde sagen: Es gibt keine Größe, die dem entspricht, was du da vorstellst. Seitdem trage ich den irreführenden Titel „imaginäre Zahl“. Ich werde i genannt, weil Leonhard Euler mich zuerst so nannte.

e: Es hat trotzdem eine Weile gedauert, bis man dir in der Mathematik ein Bürgerrecht einräumte.

i: Ja und ich wundere mich darüber. Euler konnte mühelos mit mir rechnen und erzielte damit in vielen Abhandlungen wertvolle neue Erkenntnisse. Umso erstaunlicher ist es, dass er und andere große Mathematiker wie Cardano und Bombelli, Descartes, Leibniz und Newton, größte Mühe beim Verständnis meines Charakters hatten. Sie rechneten einfach drauf los, ohne Anstalten zu machen, alles ordentlich und systematisch zu definieren. Und wenn man einen Blick in ihre Schriften wirft, in denen sie von mir reden, sträuben sich mir die Haare. Die einen meinten, durch meine Lehre sei die Untersuchung gleichsam in die Luft gestellt und bringe viele Albernheiten hervor. Andere fassten mich beinahe wie eine Lehre von fremden Göttern auf, die sich nicht geziemt. Den Umgang mit mathematischen Fragestellungen, wo ich auftauchte, hielt man für „ein inhaltsleeres Zeichenspiel“, „falsche Probleme“, eine „Tortour“, „anstößig und unnatürlich“, „so raffiniert, wie nutzlos“, „unmögliche Zahlen“…

π: Jetzt erinnere ich mich, dass schon Heron von Alexandria (um 60 n. Chr.) sich eine derartige „falsche“ Aufgabe gestellt hat. Er wollte die Höhe eines quadratischen Pyramidenstumpfs berechnen, dessen Seitenkanten 15 Fuß, Grundkanten 28 Fuß und Deckflächenkanten 4 Fuß ausmachten…

i: Für die Höhe ergibt sich in heutiger Schreibweise \(i=\sqrt{81-144}\). Heron rechnete dann weiter, indem er das missliebige Vorzeichen unter der Wurzel einfach vergaß! Am weitesten aber von allen hat es Leibniz gebracht. Bei ihm war die Wissenschaft mit einem metaphysischen Dunst umgeben:

„Es ist nämlich eifersüchtiger auf ihre herrliche Vielfalt die Natur der Dinge, die Mutter der ewigen Mannigfaltigkeiten, oder vielmehr der göttliche Geist, als daß er zuließe, daß alles unter einer einzigen Gattung zusammengedrängt würde. Daher fand er eine feine und wunderbare Ausflucht in jenem Wunder der Analysis, dem Monstrum der idealen Welt, fast einem Amphibium zwischen Sein und Nicht-Sein, welches wir die imaginäre Wurzel nennen.“

– Es fällt mir schwer zu entscheiden, wer ein größerer Mystiker war, er oder alle Pythagoreer zusammen genommen.

π: Sehr wahr sprichst du.

e: Reg dich nicht so auf, i. Leibniz war ein treuer Untertan der Vernunft. Es täusche dich nicht, dass sein Glaube an bestimmte Prinzipien in der Natur theologisch imprägniert war.

i: Auch Euler war nicht frei von theologischen Einflüssen31720, mit 13 Jahren, erfolgte Eulers Immatrikulation an der philosophischen Fakultät der Universität Basel. Auf Wunsch seines Vaters studierte er Theologie, orientalische Sprachen und Geschichte. Bald jedoch auch Mathematik bei Johann I Bernoulli, der nach dem Tod von Isaac Newton zum weltgrößten Mathematiker avancierte. 1723, 16-jährig, erlangte Euler den Magistergrad an der phil. Fakultät mit einer lateinischen Rede über den Vergleich der Philosophie Descartes‘ und Newtons.. Dennoch duldete er keine Metaphysik in seiner Analyse und sprach sich dagegen aus, Erscheinungen in Physik und Mathematik mit der Unbegreiflichkeit der Allmacht Gottes zu begründen. Hier ist der Ursprung der heutigen Physik! Was mich betrifft, so schreibt er:

„Endlich muß noch das Bedenken behoben werden, daß die Lehre von den unmöglichen Zahlen als nutzlose Grille angesehen werden könne. Dieses Bedenken ist unbegründet. Die Lehre von den unmöglichen Zahlen ist in der Tat von größter Wichtigkeit…“

– Trotz solcher Fürsprache hat man mich allenfalls geduldet, allein weil man in der Vorstellung befangen war, solche Größen ließen sich nicht anschaulich darstellen.

e: Wie du jammerst! Man könnte fast meinen, dir wäre Ähnliches widerfahren wie Hiob! Dabei haben das schon andere vor dir durchgemacht, denke z.B. an die Null oder die negativen Zahlen.

π: Sage uns doch, i, woher sind diese Verleumdungen dir entstanden? Denn gewiss, wenn du nichts Besonderes betriebest vor andern, es würde nicht ein solcher Ruf und Gerede entstanden sein, wenn du nicht ganz etwas anderes tätest als andere Zahlen. So sage uns doch, was es ist, damit wir uns nicht aufs Geratewohl unsere eigenen Gedanken machen über dich.

i: Fern sei es von mir, um meiner selbst willen mich zu verteidigen, wie einer wohl denken könnte, sondern um euretwillen, damit ihr nicht gegen des Gottes Gabe an euch etwas sündigt durch meine Verschmähung in dem Bereich der wissenschaftlichen Mathematik. Dass ich aber eine solche Zahl bin, die wohl von Gott der Mathematik mag geschenkt sein, das könnt ihr hieraus entnehmen…

e: Willst du jetzt auch noch anfangen, die Mathematiker mit einem trägen Ross zu vergleichen, der zur Anreizung eines Sporns bedarf, als welchen du selbst dich ansiehst?

i: Der Vergleich mag lächerlich gesagt scheinen. Glaubt indes sicher, dass ich die reine Wahrheit, dass ich das Wort heraussage, rede. Verteidigen muss ich mich also, und den Versuch machen, die verkehrte Meinung euch zu nehmen. Tüchtige Beweise will ich euch anführen, nicht Worte, sondern was ihr höher achtet, Tatsachen.

e und π: Lass hören.

i: Wohl ihr Zahlen! Was ich zu meiner Verteidigung zu sagen wüsste, ist dieses:
Es gibt einige, die sich sehr gern seit langer Zeit zu mir halten. Mein Trumpf ist niemand Geringeres als Gauß selbst, der Fürst der Mathematiker. Es musste erst Gauß4Vor Gauß hatte Wallis in 1685 eine geometrische Darstellung der komplexen Zahlen gegeben, später auch C. Wessel (1792) und J. Argand (1806). Gauß‘ Theorie der biquadratischen Reste (auf Latein) findet man online im Göttinger Digtalisierungszentrum (URL). kommen, um die Mathematiker und mit ihnen die übrige Welt aus der geheimnisvollen Dunkelheit heraus zu führen. Er war es, der die komplexe Zahlenebene systematisch einführte. Er verfasste einen Aufsatz seiner „anschaulichsten Versinnlichung“ der komplexen Zahlen und setzte ihn in die Göttingschen Anzeigen (1831), damit es auch jeder, der nur Freund der Mathematik aber nicht Mathematiker genannt werden kann, leicht versteht.

π: Wie kommt es also, dass -1 eine Quadratwurzel haben kann? Das Quadrat einer positiven Zahl ist immer positiv, das Quadrat einer negativen Zahl ist auch positiv und das Quadrat von 0 ist einfach 0. Es scheint unmöglich, dass wir eine Zahl finden können, deren Quadrat tatsächlich negativ ist. Wie kann man sich das vorstellen?

i: Ziemlich leicht. Statt sich die Zahlen in einer Linie von Punkten, die sich von der 0 ausgehend unbegrenzt in positive und negative Richtung fortsetzen, solle man sich ein System von Parallellinien vorstellen, die einander rechtwinklig kreuzen. Jeder Punkt hat hier nicht zwei Nachbarn, sondern vier: sagen wir die zwei Nachbarn oben und unten, die mit +1 und -1 angegeben sind, und die beiden anderen links und rechts, die man wahlweise mit +i und -i bezeichnen kann. Dabei ergibt sich leicht, dass +i die mittlere Proportionale zwischen +1 und -1 ist, oder, anders ausgedrückt, \(\sqrt{-1}\) entspricht. Braucht man noch mehr Anschaulichkeit, um diese Größe in das Gebiet der Arithmetik Eingang zu gewähren?

e: Du beraubst dich ja selbst aller Magie!

i: Die Magie besteht darin, dass man den Körper der reellen Zahlen nur um \(\sqrt{-1}\) erweitern muss, damit jede Zahl in dem resultierenden System automatisch eine Quadratwurzel hat.

e: Wenn ich das mit dem Übergang von den rationalen zu den reellen Zahlen vergleiche: Hätte man lediglich \(\sqrt{2}\) in das System der rationalen Zahlen eingeführt, hätte man so gut wie nichts gewonnen. Mit der Erweiterung um \(\sqrt{-1}\) ist in der Tat etwas ganz anderes geschehen.

i: Wir können jetzt Kubikwurzeln, fünfte Wurzeln, 999-ste Wurzeln, \(\pi\)-te Wurzel oder sogar \(i\)-te Wurzel berechnen. All for free! Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jede Polynomgleichung eine Lösung im komplexen Zahlenbereich hat. Und das ist längst noch nicht alles! Ich bin tief in der Natur und in der Mathematik verankert und diene als ein sehr effektives Werkzeug in der Physik, hier bspw. in der Quantentheorie und in der Relativitätstheorie, und in der Elektrotechnik. Und jeder, der schon einmal eine Mandelbrotmenge gesehen hat, und dabei nicht an mich gedacht hat, wisse jetzt bestimmt, dass ich dahinter stecke!

π: Sei reell, i! das sind doch nur Spielereien von Nerds und Hobbyprogrammierern.

i: Warst du es nicht, die uns gerade noch den Wahnsinn als neue Art von Sinn unterjubeln wollte?

e: Vertragt euch, Pi und i! Es bedarf keiner weiteren Zeugnisse. Wer sonst sollte meine Zierde sein, wenn nicht ihr? Kommt zu mir und wir werden Eins sein.

eiπ+1=0

Und hier ist nun der Ort, wo die ganze Rede von der vierten Art des Wahnsinns eintritt,
da einer, wenn er beim Anblick der Schönheit hienieden,
der wahrhaftigen sich wieder erinnernd,
sich befiedert und neu sich befiedernd wieder aufzufliegen verlangt,
aber die Kraft dazu nicht findet,
einem Vogel gleich nach oben blickend
und um das Untere sich nicht kümmernd,
– da ein solcher, sage ich, die Beschuldigung erfährt,
daß er im Zustande des Wahnsinns sich befinde –
die Rede also davon,
daß unter allen Arten der Begeisterung

gerade diese die beste und von der besten Abkunft sei
sowohl für den,
der sie selbst inne hat,

als auch für den,
der in Gemeinschaft mit ihr tritt,
und daß, wer dieses Wahnsinns teilhaftig die Schönen liebt,
ein Liebhaber genannt wird.
(Platon, Phaidros)

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Dieser Artikel wurde erstellt mit Hilfe folgender Quellen:

Eigenschaften von Zahlen aus den Abschnitten I.1.3:1.5 The Complex Numbers, II.1.6 Real, False, Imaginary, III.41 Irrational and Transcendental numbers, III.70 \(\pi\) in:
Timothy Gowers, June Barrow-Green, Imre Leader (Hrsg.): Princeton Companion to Mathematics; Princeton Univers. Press 2008

Eigenschaften der Zahl i aus Kap. 4 in Penrose, Roger: The road to reality: a complete guide to the laws of the universe; 1st American ed., 2005

Geschichtliche Angaben: Becker, Oskar: Grundlagen der Mathematik: in geschichtl. Entwicklung; 1. Aufl., suhrkamp, 1975

Darstellung der komplexen Zahlen bei Leibniz und Gauß: 4. Kap., Zweiter Abschnitt, A. Arithmetik in: Weyl, Hermann: Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft; 6. Aufl., Oldenbourg, 1990

Über Euler und Bernoulli: Fellmann, E.A. (Hrsg.): Leonhard Euler 1707–1783, Beiträge zu Leben und Werk

Quadratur des Kreises: Gauß-Vorlesung an der Universität Freiburg: D. Wolke: Freiburg und die Kreiszahl \(\pi\) und D. Zagier: Zahlentheorie und die Kreiszahl \(\pi\). (URL)

Pi stimmt mit Sokrates und Phaidros zusammen in das Loblied auf den Wahnsinn ein.

Zur Apologie der magischen Zahl i wurden π und i Worte des Sokrates‘ in den Mund gelegt.

Titelbild: A water droplat splash. By Luke Peterson from Sydney, Australia (Splash!) [CC BY 2.0], via Wikimedia Commons

Anmerkungen   [ + ]

1. Für das Wort Schnur wird einmal das hebräische Wort qâveh (Strong 6961; die Summe des Zahlworts ist 100+6+5=111) und an der Parallelstelle das Wort qav (Strong 6957; die Summe des Zahlworts ist 100+6=106) verwendet.
2. Zum Beispiel: Near a Raven von Mike Keith, eine Parodie von E. A. Poes The Raven.
3. 1720, mit 13 Jahren, erfolgte Eulers Immatrikulation an der philosophischen Fakultät der Universität Basel. Auf Wunsch seines Vaters studierte er Theologie, orientalische Sprachen und Geschichte. Bald jedoch auch Mathematik bei Johann I Bernoulli, der nach dem Tod von Isaac Newton zum weltgrößten Mathematiker avancierte. 1723, 16-jährig, erlangte Euler den Magistergrad an der phil. Fakultät mit einer lateinischen Rede über den Vergleich der Philosophie Descartes‘ und Newtons.
4. Vor Gauß hatte Wallis in 1685 eine geometrische Darstellung der komplexen Zahlen gegeben, später auch C. Wessel (1792) und J. Argand (1806). Gauß‘ Theorie der biquadratischen Reste (auf Latein) findet man online im Göttinger Digtalisierungszentrum (URL).